ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA

Docente Chiara Giacomoni

Descrizione

PREREQUISITI

Polinomi: divisione tra polinomi, scomposizioni, prodotti notevoli;

 

Disequazioni: 1° e 2° grado, disequazioni razionali fratte, disequazioni irrazionali, sistemi di disequazioni, disequazioni con valore assoluto, disequazioni di grado superiore al secondo;

 

Funzioni elementari: in particolare funzione potenza, esponenziale, logaritmica (in base 10 e naturale) e loro proprietà;

 

Geometria analitica: parabola, iperbole, ellisse e circonferenza, proprietà e grafici;

 

Trigonometria: funzione seno, coseno, tangente e loro inverse, la circonferenza unitaria.

 

 

TEORIA DEGLI INSIEMI

  • Unione, intersezione, differenza
  • Insieme vuoto, complementare di un insieme, insieme delle parti, cardinalità

 

I NUMERI NATURALI

  • Assiomi di Peano
  • Il Principio d’Induzione

 

I NUMERI REALI

  • Insufficienza di Q, densità di Q, insiemi discreti
  • Definizione assiomatica di R
  • Massimo, minimo, maggiorante, minorante, estremo superiore e inferiore
  • Teorema dell’esistenza dell’estremo superiore
  • Proprietà di Archimede
  • Numerabilità di Z e Q, non numerabilità di R

 

CALCOLO COMBINATORIO

  • Insieme prodotto
  • Il coefficiente binomiale e sue proprietà
  • Il triangolo di Tartaglia
  • Il binomio di Newton

 

FUNZIONI E APPLICAZIONI

  • Definizione di applicazione
  • Applicazione iniettiva, suriettiva, biettiva.
  • Definizione di funzione, dominio, codominio, grafico
  • Funzione limitata, pari o dispari, composta
  • Funzione inversa, funzione monotona e loro correlazioni
  • Grafici di funzioni elementari e loro inverse

 

LIMITI DI SUCCESSIONI e LIMITI DI FUNZIONI

  • Definizione di successione
  • Successioni convergenti, divergenti, successione regolare
  • Verifiche di limiti
  • Teorema dell’unicità del limite
  • Successioni limitate, successioni monotone, successioni estratte
  • Teorema del limite del prodotto di una successione limitata per una infinitesima
  • Operazioni coi limiti nel caso finito e infinito
  • Forme indeterminate
  • Teorema della permanenza del segno
  • Teorema dei due carabinieri
  • Numero di Nepero
  • Infiniti e infinitesimi
  • Teorema sulle operazioni con i limiti
  • Limiti notevoli

 

FUNZIONI CONTINUE

  • Definizione, funzione continua in un punto e funzione continua in un intervallo
  • Punti di discontinuità: eliminabile di prima e seconda specie
  • Continuità delle operazioni, della funzione composta, della funzione inversa
  • Teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi, teorema di compattezza, teorema di Weierstrass.

 

IL CALCOLO DIFFERENZIALE

  • Rapporto incrementale e definizione di derivata
  • Significato geometrico
  • Derivata destra e sinistra
  • Punti di non derivabilità (punti angolosi e cuspide)
  • Teorema sulla relazione tra continuità e derivabilità
  • Derivate delle funzioni elementari
  • Regole di derivazione: teorema sulla derivata di una somma, di un prodotto, del quoziente, derivata di funzioni polinomiali
  • Derivata delle funzioni composte, derivata della funzione inversa
  • Derivate successive

 

MASSIMI E MINIMI

  • Definizione di massimo e minimo relativo e assoluto.
  • Teorema di Fermat
  • Punti stazionari
  • Teorema di Rolle e significato geometrico
  • Teorema di Lagrange e significato geometrico
  • Criterio di stretta monotonia

 

FUNZIONI CONVESSE

  • Definizione di funzione convessa
  • Teorema di caratterizzazione delle funzioni convesse
  • Punti di flesso
  • Asintoti

 

TEOREMI DI DE L’HOSPITAL

  • Il teorema di de l’Hospital
  • Applicazione del teorema nelle forme di indecisione: , , , ,

 

IL CALCOLO INTEGRALE

  • Nozione di primitiva
  • Teorema di caratterizzazione delle primitive
  • Teorema di linearità
  • L’integrale indefinito: integrali indefiniti immediati
  • Metodi di integrazione: per parti, per sostituzione
  • Integrazione delle funzioni razionali
  • Concetto di area
  • Somme integrali inferiori e somme superiori
  • L’integrale di Riemann
  • Proprietà dell’integrale definito
  • Teorema della media integrale
  • Teorema fondamentale del calcolo integrale

 

ALGEBRA LINEARE

Matrici e determinanti

  • Definizione di matrice
  • Operazioni con le matrici
  • Determinanti
  • Minori di una matrice
  • Teorema di Laplace
  • Inversa di una matrice
  • Rango di una matrice

 

Sistemi di equazioni lineari

  • Sistemi normali: Teorema di Cramer
  • Sistemi non normali: Teorema di Rouchè-Capelli
  • Sistemi omogenei

 

Spazi vettoriali

  • Definizione di spazio vettoriale
  • Dipendenza e indipendenza lineare di vettori

Orario ricevimento

Si riceve per appuntamento tramite posta elettronica