Effetti del II oridne nella valutazione della rigidezza delle strutture

Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile / IASA

a.a. 2017/2018
Laureando: Enrico Giovanni Cellarosi
Relatore: L. Lanzoni

ABSTRACT ITA

Introduzione
Per questo lavoro di tesi si è scelto di andare a studiare dei semplici casi di elementi compressi, soggetti predisposti ad instabilità per carico di punta, andando ad analizzare l'influenza degli effetti del secondo ordine per configurazioni che subiscono spostamenti verticali unitari o rotazioni unitarie. Questi sistemi differiscono tra loro per i vincoli che possiedono agli estremi e per le azioni esterne a cui vengono sottoposti. 

L'obiettivo dello studio sarà, confrontare i valori dati dalla formula del carico critico di Eulero con i valori di carico critico ricavati dalle rigidezze approssimate al secondo termine.

Descrizione generale del problema
Quando si parla di collasso plastico ci si riferisce ad un evento in cui si assiste all'esaurimento della resistenza del materiale che avendo oltrepassato la soglia limite si sforzo sopportabile, per una regione sufficientemente estesa, non permette la possibilità di ridistribuzione delle tensioni data  dalla duttilità del materiale, così la capacità portante risulta esaurita.

Ci sono casi però in cui la crisi della struttura si manifesta anche per tensioni inferiori a quelle facilmente sopportabili dal materiale. Una membratura compressa può inflettersi e collassare sotto l'azione di carichi sensibilmente inferiori a quelli previsti; i carichi saranno tanto più piccoli quanto la lunghezza dell'elemento è elevata rispetto l'area della sezione. Il fenomeno in questione si verifica al presentarsi di piccole spostamenti dell'asse dalla configurazione iniziale che provoca inflessioni di notevole entità. L'insieme di questi eventi vengono raggruppati e studiati come fenomeni di instabilità.

Il problema delle travi compresse in punta è uno dei problemi più comuni d'instabilità dell'equilibrio elastico, ovvero l'equilibrio tra le forze esterne e le tensioni interne.

Nei secoli scorsi, lo studio effettuato da Eulero nel '700 iniziò ad acquisire  sempre maggior importanza, perché col passare del tempo e con l'utilizzo di materiali da costruzione sempre più innovativi, sono sorte strutture sempre più snelle, con il conseguente presentarsi dei primi fenomeni di instabilità che iniziarono a manifestarsi sempre con più probabilità e frequenza.

Diventarono la problematica principale per la costruzione di strutture resistenti, leggere e di sezioni contenute, soprattutto nel campo navale ed aerospaziale.

Soltanto le strutture sottoposte a trazione non risentono di questi fenomeni, i quali si possono verificare anche a valori di carico contenuti.

Due tratti distintivi di questi effetti sono che:

  • si presentano in modo improvviso, senza dare segni premonitori in grado di permettere la messa in sicurezza della struttura o lo scarico della stessa.
  • se si verificano instabilità locali in una sola parte della costruzione, queste possono propagarsi provocando danni all'intera struttura in poco tempo. 

Non è inoltre facile prevederli ed evitarli nell'analisi di una struttura.

Ciò ha portato alla definizione di leggi teoriche che permettono di arrivare ad un carico limite oltre al quale la struttura cambia la sua configurazione di equilibrio.

Oggigiorno è sicuramente uno dei primi problemi da affrontare nella progettazione di strutture leggere compresse. La maggior parte di queste strutture infatti raggiungerà la crisi per l' instabilità prima rispetto quella dovuta alle sollecitazioni di compressione.

Lo studio di questi fenomeni richiede un lavoro analitico complesso, perciò si fa uso di soluzioni approssimate in grado di fornire risultati di precisione apprezzabile, ma al contempo, fanno comprendere l'essenza del fenomeno trattato.

Questo lavoro di tesi baserà parte della ricerca sulla conoscenza di questo fenomeno, partendo dai problemi Euleriani di instabilità.

Ipotesi alla base del modello di trave di Eulero-Bernoulli sono:

  • conservazione delle sezioni piane
  • ortogonalità tra sezione ed asse della trave

Concetto di rigidezza

La rigidezza è la capacità che ha un corpo di opporsi alla deformazione elastica provocata da una o più azioni esterne. Questa grandezza dipende da:

  • quantità / qualità del materiale utilizzato
  • geometria della struttura che a parità di materiale può conferire più o meno rigidezza
  • condizioni vincolari, ad esempio si avrà maggiore rigidezza per un elemento incastrato in tutte e due gli estremi rispetto ad uno con lo schema di mensola.

Descrizione dei casi analizzati
Sono stati selezionati differenti casi di elementi compressi che  differiscono tra loro per: condizioni vincolari, sollecitazioni applicate e la presenza di spostamenti unitari o rotazioni unitarie. Per la trattazione dei casi si è utilizzato il metodo della linea elastica, in grado di descrivere l'andamento della configurazione deformata assunta dalla linea d'asse sottoposta ai carichi. Quindi sono state imposte le condizioni al contorno dipendenti dai vincoli presenti nei vari sistemi che forniscono le soluzioni del sistema. Sono state quindi rappresentate in un diagramma cartesiano l'equazione esatta che rappresenta la rigidezza e lo sviluppo in serie di Taylor della stessa, arrestato al secondo termine. Lo sviluppo analitico del prblema è stato effettuato col software di calcolo "Wolfram Mathematica". Quindi sono stati confrontati i valori di carico critico Euleriano aderente alla curva esatta e il valore ricavato dalla rigidezza approssimata al secondo termine. Per l'ottenimento dei risultati sono stati posti EJ = 1000 e L = 100.

Conclusioni
Come evidenziato dai risultati in Figura 4, le differenze, tra carico critico Euleriano e carico critico ricavato dalla rigidezza approssimata al secondo termine, sono maggiori nelle configurazioni che hanno gli estremi "bloccati" e alle quali si impongono rotazioni unitarie. Questo mette in evidenza la maggiore influenza degli effetti del secondo ordine per queste configurazioni.

Bibliografia 
Odone Belluzzi. Scienza delle costruzioni . Zanichelli editore, 1941; Leone Corradi Dell'Acqua. Meccanica delle strutture,vol 3. McGraw-Hill Libri editore, 1992 Nunziante L.,Gambarotta L., Tralli A. Scienza delle Costruzioni. McGraw-Hill editore, 2003. Angelo Marcello Tarantino. Introduzione alla meccanica delle strutture. Pitagora Bologna editrice, 2009.

https://www.wolfram.com/mathematica/
https://it.wikipedia.org/wiki/Pagina_principale
https://www.ingegneri.cc/

 

ABSTRACT ENG
Evaluation of second order effects on structures stiffness

Introduction
For this thesis work we chose to study simple cases of compressed elements, subjects predisposed to instability for peak load, analyzing the influence of second order effects for configurations that undergo unit vertical displacements or unit rotations. These systems differ from one another because of the constraints they possess at the extremes and for the external actions to which they are subjected.

The focus of the study will be to compare the values ​​given by the Euler critical load formula with the critical load values ​​obtained from the approximate stiffness to the second term.

General description of the problem
When we speak of plastic collapse we refer to an event in which we see the exhaustion of the material resistance that having exceeded the threshold limit tolerable effort, for a sufficiently extended region, does not allow the possibility of redistribution of the tensions given by the ductility of the material, so the load-bearing capacity is exhausted.

There are cases, however, in which the crisis of the structure is also manifested by tensions lower than those easily borne by the material. A compressed member can inflect and collapse under the action of loads that are significantly lower than expected; the loads will be as small as the length of the element is high compared to the section area. The phenomenon in question occurs when there are small movements of the axis from the initial configuration that causes significant inflections. All these events are grouped together and studied as instabilities.

The problem of tip-compressed beams is one of the most common problems of equilibrium instability elastic, or the balance between external forces and internal tensions.

In the past few centuries, the study carried out by Euler in the eighteenth century began to acquire ever greater importance, because over time and with the use of increasingly innovative building materials, increasingly lean structures arose, with the consequent presentation of the first instability phenomena that began to occur more and more frequently and frequently.

They became the main problem for the construction of resistant structures, light and contained sections, especially in the naval and aerospace fields.

Only the structures under tension are not affected by these phenomena, which can occur even at low load values.

Two distinctive features of these effects are that:

  • present themselves in a sudden way, without giving premonitory signs capable of allowing the safety of the structure or the discharge of the same.
  • if local instabilities occur in only one part of the construction, they can propagate causing damage to the entire structure in a short time.

It is also not easy to predict and avoid them in the analysis of a structure.

This led to the definition of theoretical laws that allow to reach a limit load beyond which the structure changes its equilibrium configuration.

It is certainly one of the first problems to be faced in the design of light compressed structures. In fact, most of these structures will reach the crisis due to instability before compared to compression stress.

The study of these phenomena is a complex analytic work, so we make use of approximate solutions able to provide results of precision, but at the same time, make understand the essence of the phenomenon treated.

This thesis work will base part of the research on the knowledge of this phenomenon, starting from the Eulerian problems of instability.

Assumptions underlying the Eulero-Bernoulli beam model are:

  • conservation of flat sections
  • orthogonality between section and beam axis

Stiffness
Stiffness is the elements property to contrast with the elastic force caused by one or more external actions. This quantity depends on:

  • quantity / quality of the material used
  • geometry of the structure which, given the same material, can confer more or less rigidity
  • binding conditions, for example, there is greater rigor for an element stuck in all the two versions with a shelf scheme.

Description of the cases analyzed
Different cases of compressed elements have been selected that differ from each other by: constraint conditions, applied stresses and the presence of unit displacements or unit rotations. For the treatment of cases the elastic line method was used, able to describe the progress of the deformed configuration assumed by the axis line subjected to the loads. Therefore the boundary conditions imposed by the constraints present in the different systems supplying them have been imposed provide the system solutions. The exact equation that represents stiffness and the Taylor series development of the same, then stopped in the second term, were therefore represented in a Cartesian diagram. The analytical development of the problem was made with the calculation software "Wolfram Mathematica". Then the values ​​of Eulerian critical load pertinent to the exact curve and the value obtained from the approximate stiffness to the second term were compared. To obtain the results, EJ = 1000 and L = 100 were placed.

Conclusions
Figure 4 shows the differences between the Eulerian critical load and the critical load obtained from the approximate stiffness at the second term, are greater in the configurations that have the ends "blocked" and to which unit rotations are imposed. This highlights the greater influence of second-order effects for these configurations.

Bibliography
Odone Belluzzi. Scienza delle costruzioni . Zanichelli editore, 1941; Leone Corradi Dell'Acqua. Meccanica delle strutture,vol 3. McGraw-Hill Libri editore, 1992 Nunziante L.,Gambarotta L., Tralli A. Scienza delle Costruzioni. McGraw-Hill editore, 2003. Angelo Marcello Tarantino. Introduzione alla meccanica delle strutture. Pitagora Bologna editrice, 2009.

https://www.wolfram.com/mathematica/
https://it.wikipedia.org/wiki/Pagina_principale
https://www.ingegneri.cc/