Validazione piastre sottili: modellazione analitica ed implementazione FEM

Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile / IASA

a.a. 2017/2018
Laureando: Marco Secchi
Relatore: Federico Falope

ABSTRACT ITA

Il lavoro di tesi ha riguardato lo studio del modello di piastre sottili di Kirchhoff. Tale modello di piastra è stato studiato attraverso la considerazione di due casi studio:

  • - Piastra rettangolare appoggiata su 2 soli bordi opposti, soggetta a carico distribuito;
  • - Piastra rettangolare appoggiata su 4 bordi, soggetta a carico distribuito.

La teoria di tali casi, soluzione di Navier e soluzione di Levy (soluzioni in serie), è stata implementata mediante un manipolatore simbolico. 

I risultati del modello teorico sono successivamente stati confrontati con due software commerciali agli elementi finiti. Definendo tre diverse tipologie di mesh (1,2 e 3 rispettivamente dal modello meno raffinato al più raffinato) per  i  modelli    ad  elementi    finiti, i   risultati   sono   stati confrontati con la soluzione analitica, assumendo un numero di termini della serie N=3,5,10.

I risultati del problema, ricavati in funzione dell’abbassamento del piano medio della lastra, sono stati riportai sotto forma di contour-plot e tabulati, in termini di:

  • Abbassamento del piano medio della piastra;
  • Momenti per unità di lunghezza (flettenti e torcente);
  • Tagli;
  • Tagli di Kirchhoff.

Sono stati riportati in aggiunta gli errori relativi, espressi rispetto alla soluzione analitica, per ogni grandezza analizzata.

Modello analitico
Grazie all'implementazione del manipolatore simbolico si è giunti alla definizione della soluzione analitica per entrambi i casi studio.
Per i due casi analizzati si sono determinati :

  • Campo di spostamento;
  • Momenti;
  • Tagli;
  • Tagli di Kirchhoff.

Si è scelto di considerare soluzioni corrispondenti a tre diversi troncamenti della serie : N = 3, 5, 10.
La soluzione analitica ottenuta per ogni intervallo è stata successivamente confrontata con i risultati ottenuti dai due FEM utilizzati.

Modello FEM
Per ogni caso studio, come precedentemente nel modello analitico, sono stati considerati i tre diversi troncamenti della serie (N = 3,5 e 10).
Si è eseguito un modello per ogni intervallo, implementandolo attraverso la costruzione di una mesh.

Conclusioni
La soluzione analitica implementata mediante manipolatore simbolico (Soluzione in Doppia Serie e Soluzione di Levy) confrontata con i risultati ottenuti dai due FEM ha permesso di riscontrare un ottimo grado di approssimazione sui campi di spostamento e, in alcuni casi, la sottostima da parte del FEM delle caratteristiche della sollecitazione interna.

Bibliografia
O.Belluzzi. Scienza delle Costruzioni, vol. 3, cap. 26 Zanichelli, Bologna, 1960.
Straus7 Theoretical Manual. Theoretical background to the Straus7 finite element analysis. Sydney : G + D Computing, 2004.
Sap2000 v19.0.0. Csi analysis reference manual. Computers and Structures Inc., Berkley, California, USA,2016.

ABSTRACT ENG
VALIDATION OF THIN PLATES: ANALYTICAL MODELING AND IMPLEMENTATION FEM

The thesis work concerned the study of the Kirchhoff thin plate model. This plate model has been studied through the consideration of two case studies:

  • Rectangular plate resting on only two opposite edges, subjected to distributed load;
  • Rectangular plate resting on 4 edges, subjected to distributed load.

The theory of such cases, Navier's solution and Levy's solution (series solutions), has been implemented by means of a symbolic manipulator.

The results of the theoretical model were subsequently compared with two commercial finite element software. By defining three different types of meshes (1,2 and 3 respectively from the less refined to the more refined model) for the finite element models, the results were compared with the analytical solution, assuming a number of terms of the series, N = 3.5,10.

The results of the problem, obtained as a function of the lowering of the average plate plane, have been reported in the form of contour-plots and tabulations, in terms of:

  • Lowering of the middle plate;
  • Moments per unit length (bending and twisting);
  • Shear stress;
  • Kirchhoff shear stress.

 In addition, relative errors, expressed with respect to the analytical solution, have been reported for each quantity analyzed.

Analytical model
Thanks to the implementation of the symbolic manipulator we have come to the definition of the analytical solution for both the case studies.
For the two cases analyzed, they determined:

  • Displacement field;
  • Moments;
  • Shear stress;
  • Kirchhoff shear stress.

We chose to consider solutions corresponding to three different truncations of the series: N = 3, 5, 10.
The analytical solution obtained for each interval was subsequently compared with the results obtained by the two FEM’s used.

FEM model
For each case study, as previously in the analytical model, the three different truncations of the series were considered (N = 3.5 and 10).
A model was executed for each interval, implementing it by constructing a mesh.

Conclusions
The analytical solution implemented by means of a symbolic manipulator (Double Series Solution and Levy Solution) compared with the results obtained by the two FEM allowed to find an excellent degree of approximation on the displacement fields and, in some cases, the underestimation by the FEM of the characteristics of the internal stress.

Bibliography
O.Belluzzi. Scienza delle Costruzioni, vol. 3, cap. 26 Zanichelli, Bologna, 1960.
Straus7 Theoretical Manual. Theoretical background to the Straus7 finite element analysis. Sydney : G + D Computing, 2004.
Sap2000 v19.0.0. Csi analysis reference manual. Computers and Structures Inc., Berkley, California, USA,2016.