Analisi matematica e geometria

Prerequisiti

Conoscenze matematiche di base acquisite dalla scuola media superiore quali: equazioni e disequazioni algebriche di primo e secondo grado, potenze, esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche. Tali argomenti verranno ripresi nel precorso che si tiene ogni anno prima dell’inizio delle lezioni.

Obiettivi

Il corso si propone di fornire gli strumenti per conseguire un’adeguata conoscenza dei concetti che stanno alla base dell’analisi matematica e sviluppare e consolidare le abilità di calcolo. Particolare attenzione è stata posta alla scelta di esempi significativi, a volte tratti dalle scienze applicate, altre dalle applicazioni più comuni, al fine di stimolare le attitudini logico-deduttive.

Descrizione

Contenuti

PRECORSI (si effettuano in sede una settimana prima dell’inizio delle lezioni)

• Polinomi: divisione tra polinomi, scomposizioni, prodotti notevoli.
• Disequazioni: 1° e 2° grado, disequazioni razionali fratte, disequazioni irrazionali, sistemi di disequazioni, disequazioni con valore assoluto, disequazioni di grado superiore al secondo.
• Funzioni elementari: in particolare funzione potenza, esponenziale, logaritmica e loro proprietà.
• Geometria analitica: parabola, iperbole, ellisse e circonferenza, proprietà e grafici.
• Trigonometria: funzione seno, coseno, tangente e loro inverse, la circonferenza unitaria.

ANALISI MATEMATICA

• Teoria degli insiemi.
• Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali e reali e loro proprietà. Principio d’induzione. Insufficienza di Q. Teorema dell’esistenza dell’estremo superiore. Proprietà di Archimede. Non numerabilità di R.
• Logica proposizionale. Principio del terzo escluso e di non contraddizione. Logica dei predicati.
• Introduzione alla topologia. Concetto di intorno. Punti interni, esterni, di frontiera e di accumulazione. Teorema di Bolzano-Weierstrass.
• Funzioni e loro grafici. Funzioni invettive, suriettive e biiettive. Funzioni razionali, periodiche. Le funzioni trigonometriche. Funzioni limitate, pari, dispari. Funzioni monotone. Funzioni composte. Funzione inversa.
• Successioni: definizioni e proprietà. Limiti e convergenza. Teorema dell’unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Successioni monotone e successioni limitate. Successioni estratte.
• Limiti: definizione intuitiva e definizione formale in tutti i casi (finiti ed infiniti); algebra dei limiti. Teorema del confronto. Limiti notevoli. Infiniti e infinitesimi.
• Funzioni continue: definizione, continuità destra e sinistra; continuità in un punto ed in un intervallo; Teorema di Weierstrass, Teorema dei valori intermedi, Teorema di compattezza, Teorema degli zeri.
• Derivata e significato geometrico, derivata destra e derivata sinistra. Teorema sulla relazione tra continuità e derivabilità; algebra delle derivate; derivata delle funzioni composte, derivata delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Derivate successive. Crescenza e decrescenza e legame con la derivata. Punti estremi, punti critici e Teorema di Fermat, Teorema di Rolle, Teorema del valor medio di Lagrange. Conseguenze del Teorema di Lagrange.
• Funzioni convesse e legame con la derivata seconda. Punti di flesso e asintoti. Studi qualitativo delle funzioni.
• Teorema di de l’Hopital.
• Nozione di primitiva. Integrale di Riemann: definizione e proprietà e significato geometrico. Integrale definito e indefinito. Teorema della media integrale, Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Tecniche di integrazione: per parti, per sostituzione, integrazione delle funzioni razionali fratte.

ALGEBRA LINEARE

• Matrici e determinanti: definizione di matrice, operazioni con le matrici. Determinanti, minori di una matrice, Teorema di Laplace, inversa di una matrice. Rango di una matrice.
• Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouchè-Capelli. Sistemi omogenei.
• Spazi vettoriali: definizione di spazio vettoriale. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori.

Metodo didattico
Lezioni frontali in aula ed esercitazioni svolte con l’ausilio di proiezioni da computer.

Strumenti di supporto alla didattica
Dispense del docente.

Modalità di esame

L’esame è costituito da due prove, scritta e orale.
Si accede alla prova orale solo se si ha superato quella scritta.
Prova scritta: 2 o 3 ore.
Prova orale: 20 minuti circa di esposizione.