Geometria

Obiettivi

L’obiettivo principale del corso è fornire agli studenti gli strumenti per comprendere e applicare i concetti di algebra lineare, geometria euclidea e teoria delle coniche in vari contesti disciplinari.
Tramite lezioni in aula guidate dal docente e lo studio autonomo e consapevole, ci si aspetta che lo studente sia in grado di affrontare gli argomenti descritti nel programma al fine di:
• Acquisire conoscenze matematiche come un patrimonio personale che può essere utilizzato in qualsiasi momento del proprio percorso educativo.
• Essere in grado di interpretare soluzioni ingegneristiche complesse utilizzando la teoria dell’algebra lineare.
• Comprendere le applicazioni pratiche della geometria nell’ingegneria.
• Avere la capacità di applicare principi geometrici nella progettazione e nella risoluzione di problemi di ingegneria.
• Avere la capacità di valutare autonomamente la propria conoscenza e abilità.
• Avere la capacità di comunicare efficacemente le proprie idee e argomentare con precisione.

Risultati di apprendimento attesi

Al termine del corso, lo studente sarà in grado di:
1. Comprendere e applicare concetti di spazi vettoriali, basi e dimensioni.
2. Risolvere sistemi lineari utilizzando metodi algebrici e geometrici.
3. Calcolare e interpretare autovalori e autovettori.
4. Utilizzare trasformazioni lineari e matrici per descrivere proprietà geometriche.
5. Rappresentare e analizzare geometrie euclidee e affini in spazi n-dimensionali.
Questi argomenti forniscono una base fondamentale per sviluppare competenze di problem solving nei corsi di ingegneria.

Contenuti dell’insegnamento

Matrici e sistemi lineari. Matrici: matrici notevoli; operazioni fra matrici; determinante di una matrice e relative proprietà; il teorema di Laplace; matrice inversa; rango di una matrice.

Sistemi di equazioni lineari: sistemi lineari e matrici associate; sistemi lineari a gradini; sistemi lineari di Cramer; il teorema di Rouché-Capelli; riduzione gaussiana.

Spazi vettoriali. Modelli fondamentali di spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali. Matrici e vettori. Lineare dipendenza e indipendenza di un insieme di vettori. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Applicazioni lineari: nucleo e immagine di un’applicazione lineare; equazione dimensionale; matrici associate; cambiamenti di base. Diagonalizzazione di matrici: autovalori e autovettori di un endomorfismo; teorema spettrale e diagonalizzazione per similitudine di una matrice quadrata. Prodotto scalare standard e spazio vettoriale euclideo n-dimensionale standard: forme quadratiche; prodotto scalare e norma di un vettore; angolo fra vettori; ortogonalità; basi ortonormali; prodotto vettoriale e relative proprietà.

Spazi euclidei. Sistemi di riferimento. Piano Euclideo reale: rappresentazioni di una retta; posizioni reciproche fra rette; fasci di rette; parallelismo ed ortogonalità; distanza euclidea. Spazio Euclideo reale di dimensione tre: rappresentazioni di una retta e di un piano; posizioni reciproche fra piani, fra rette e fra rette e piani; parallelismo e ortogonalità, distanze.

Teoria delle coniche. Equazioni omogenee e non omogenee; matrici associate. Coniche degeneri e non degeneri. Classificazione delle coniche non degeneri. Centro di una conica. Diametri. Asintoti. Assi e vertici. Equazioni canoniche euclidee delle coniche. Iperboli equilatere, ellissi vuote e circonferenze. Fuochi e direttrici. Cenno ai fasci di coniche.

Prerequisiti

È importante avere familiarità con i seguenti concetti: concetti di base nella teoria degli insiemi e simboli associati; conoscenza di nozioni fondamentali sui polinomi e vettori geometrici; comprensione delle strutture algebriche di base, inclusi i concetti di gruppi e campi.

Testi e bibliografia di riferimento

Abate, M., & de Fabritiis C. (2010). Geometria analitica con elementi di algebra lineare. Milano: McGraw-Hill.
Bernardi A., & Gimigliano A. (2014). Algebra lineare e geometria analitica. Torino: CittàStudi Edizoni, De Agostini Scuola.
Cavicchioli, A., & Spaggiari, F. (2002). Primo modulo di geometria. Bologna: Pitagora Editrice.
Cavicchioli, A., & Spaggiari, F. (2004). Secondo modulo di geometria. Bologna: Pitagora Editrice.
Casali, M. R., Gagliardi, C., & Grasselli, L. (2010). Geometria (nuova ed.). Bologna: Esculapio.
Cattabriga A., & Mulazzani M. (2019). Prove d’esame risolte di Geometria ed Algebra per i corsi di Laurea in Ingegneria, Progetto Leonardo. Bolonia: Esculapio.
Gualandri L. (2007). Algebra Lineare e Geometria-Quiz risolti d’esame. Bolonia: Esculapio.
Lang, S. (2012). Introduction to linear algebra (2nd ed.). Torino, Italia: Boringhieri società per azioni.
Altri testi:
Landi, G., & Zampini, A. (2018). Linear Algebra and Analytic Geometry for Physical Sciences. Springer. doi: 10.1007/978-3-319-78361-1
Neri, F. (2016). Linear algebra for computational sciences and engineering. Cham: Springer. doi: 10.1007/978-3-319-40341-0
Penney, R. C. (2008). Linear algebra: ideas and applications. New York, NY: Wiley-Interscience.
Scovenna, M., Citterio, M. G., & Moretti, A. (2001). Quaderno di approfondimento. Algebra Lineare. CEDAM Scuola
Ruini-F, B., & Spaggiari, F. (2002). Esercizi di Geometria. Bologna: Pitagora Editrice.
Sernesi, E. (1989). Geometria I. Torino: Boringhieri.

Metodi e strumenti didattici

Il corso prevede sia lezioni teoriche che esercitazioni guidate dal docente. Il materiale didattico è strutturato in 8 capitoli che saranno resi disponibili dal docente sulla piattaforma prima dell’inizio delle lezioni, consentendo agli studenti di avere il materiale di studio in anticipo.
Ogni capitolo include:
Richiami teorici con esempi guidati ed esercizi risolti.
Esercizi proposti, organizzati per argomento e livello di difficoltà.

Durante le lezioni teoriche, il docente fornirà delle slide per illustrare gli argomenti in modo chiaro e comprensibile agli studenti. Tali lezioni saranno integrate con esercitazioni pratiche per mettere in pratica quanto appreso.

Le esercitazioni di Geometria sono strutturate in modo che gli studenti possano applicare la teoria appresa durante le lezioni, sia lavorando in gruppo che in modo autonomo. Il docente metterà a disposizione le relative soluzioni per agevolare il processo di apprendimento.

Alla conclusione del corso, il docente fornirà ulteriore materiale di studio, tra cui esempi di prove d’esame, allo scopo di consolidare le conoscenze acquisite.

Modalità di verifica e valutazione dell’apprendimento

L’esame comprende una prova scritta e un colloquio orale. Il colloquio orale si concentra sugli argomenti teorici del programma ed è finalizzato a valutare il livello di conoscenza e comprensione di tali argomenti. È obbligatorio ottenere un voto sufficiente in entrambe le parti, sia nella prova scritta che nel colloquio orale. Il voto finale sarà la media dei voti ottenuti nelle due parti.