Geometria

Prerequisiti

Conoscenza delle definizioni e dei simbolismi di base della teoria degli insiemi e delle nozioni elementari sui polinomi.

Obiettivi

Introduzione ai concetti ed alle strutture di base dell’algebra lineare, della geometria euclidea e della teoria delle coniche in collegamento con il loro utilizzo in altre discipline.

Descrizione

Spazi vettoriali. Matrici: operazioni, determinante, matrice inversa, rango. Sistemi lineari, sistemi di Cramer, sistemi lineari omogenei. Trasformazioni lineari: nucleo ed immagine, equazione dimensionale, matrici associate, cambiamenti di base, autovalori ed autovettori di un endomorfismo, teorema spettrale e diagonalizzazione per similitudine di matrici. Prodotto scalare standard e spazio vettoriale euclideo n-dimensionale standard. Forme quadratiche.

Spazi euclidei: sistemi di riferimento, sottospazi, parallelismo ed ortogonalità, distanze. Piano euclideo reale: rappresentazioni di una retta, posizione reciproca, parallelismo ed ortogonalità, distanze. Spazio euclideo reale di dimensione tre: rappresentazioni di una retta e di un piano, posizioni reciproche, parallelismo ed ortogonalità, distanze.

Teoria delle coniche. Equazioni omogenee e non omogenee; matrici associate. Coniche degeneri e non degeneri. Classificazione delle coniche non degeneri.  Centro di una conica. Diametri. Asintoti. Assi e vertici. Equazioni canoniche euclidee delle coniche. Iperboli equilatere, ellissi vuote e circonferenze. Fuochi e direttrici. Cenno ai fasci di coniche.

Modalità di esame

Prova scritta (90 minuti) + Prova orale

Bibliografia

• M.R. Casali – C. Gagliardi – L. Grasselli, GEOMETRIA, Esculapio ed., Bologna, 2010 (nuova ed.);
• E. Sernesi, Geometria I, Boringhieri, Torino, 1989;
• C. Bignardi-B. Ruini-F. Spaggiari, Esercizi di Algebra Lineare, Pitagora Editrice, Bologna, 1996;
• B. Ruini-F. Spaggiari, Esercizi di Geometria , Pitagora Editrice, Bologna, 2002;