Geometria

Prerequisiti

Conoscenza delle definizioni e dei simbolismi di base della teoria degli insiemi e delle nozioni elementari sui polinomi e vettori geometrici.

Obiettivi

Introduzione ai concetti ed alle strutture di base dell’algebra lineare, della geometria euclidea e della teoria delle coniche in collegamento con il loro utilizzo in altre discipline.

Descrizione

Programma

Spazi vettoriali. Matrici: operazioni, determinante, matrice inversa, rango. Sistemi lineari, sistemi di Cramer, sistemi lineari omogenei. Trasformazioni lineari: nucleo ed immagine, equazione dimensionale, matrici associate, cambiamenti di base, autovalori ed autovettori di un endomorfismo, teorema spettrale e diagonalizzazione per similitudine di matrici. Prodotto scalare standard e spazio vettoriale euclideo n-dimensionale standard. Forme quadratiche.
Spazi euclidei. Sistemi di riferimento, sottospazi, parallelismo ed ortogonalità, distanze. Piano euclideo reale: rappresentazioni di una retta, posizione reciproca, parallelismo ed ortogonalità, distanze. Spazio euclideo reale di dimensione tre: rappresentazioni di una retta e di un piano, posizioni reciproche, parallelismo ed ortogonalità, distanze.
Teoria delle coniche. Equazioni omogenee e non omogenee; matrici associate. Coniche degeneri e non degeneri. Classificazione delle coniche non degeneri. Centro di una conica. Diametri. Asintoti. Assi e vertici. Equazioni canoniche euclidee delle coniche. Iperboli equilatere, ellissi vuote e circonferenze. Fuochi e direttrici. Cenno ai fasci di coniche.

Metodi didattici

Il corso prevede sia lezioni teoriche che esercitazioni, entrambe le parti organizzate in un totale di 9 capitoli che rappresentano ‘appunti di Geometria’. Inoltre ai Capitoli, saranno forniti dal docente le slides mostrate durante le lezioni. Gli studenti per eventuali approfondimenti possono fare riferimento alla bibliografia posta alla fine del programma.
Prima degli argomenti elementari di Geometria Analitica nel piano e nello spazio e della Teoria delle Coniche, vengono presentate le prime nozioni di Spazi Vettoriali e le loro applicazioni alla Teoria delle Matrici e Sistemi Lineari. Tali argomenti hanno dimostrato sul campo la loro importanza per la preparazione di qualsiasi ingegnere.

Ogni capitolo contiene:
– richiami di teoria ciascun argomento, con esempi guidati ed esercizi svolti;
– esercizi proposti, organizzati e distribuiti per argomento e di diverso grado di difficoltà.

Le esercitazioni di Geometria vengono programmate in modo che lo studente possa realizzare le soluzioni dei problemi applicando la teoria studiata durante le lezioni, lavorando sia in gruppo che in forma autonoma. Saranno forniti dal docente le relative soluzioni.

Alla fine del corso, il docente fornirà anche materiale di studio aggiuntivo, compresi esempi di prove d’esame, con lo scopo di rafforzare gli eventuali punti di debolezza; diversi test Vero o Falso e domande aperte, per valutare il livello di conoscenza raggiunto (materiale utile in per preparare al meglio la prova orale).
I capitoli sono realizzati ad esclusivo uso interno per il Corso di Geometria dell’Università di San Marino come un puro supporto agli argomenti stabiliti del corso stesso.

Modalità di esame

Prova scritta (120 minuti) + Prova orale. È necessario ottenere la sufficienza in entrambe le parti (scritto e orale). Il voto finale sarà la media dei voti conseguiti nelle due parti.

Bibliografia

• Abate, M., & de Fabritiis C. (2010). Geometria analitica con elementi di algebra lineare. Milano: McGraw-Hill.
• Bernardi A., & Gimigliano A. (2014). Algebra lineare e geometria analitica. Torino: CittàStudi Edizoni, De Agostini Scuola.
• Bignardi-B, C., Ruini-F, B., & Spaggiari, F. (1996). Esercizi di Algebra Lineare. Bologna: Pitagora Editrice.
• Casali, M. R., Gagliardi, C., & Grasselli, L. (2010). Geometria (nuova ed.). Bologna: Esculapio.
• Cattabriga A., & Mulazzani M. (2019). Prove d’esame risolte di Geometria ed Algebra per i corsi di Laurea in Ingegneria, Progetto Leonardo. Bolonia: Esculapio.
• Gualandri L. (2007). Algebra Lineare e Geometria-Quiz risolti d’esame. Bologna: Esculapio.
• Landi, G., & Zampini, A. (2018). Linear Algebra and Analytic Geometry for Physical Sciences. Springer. doi: 10.1007/978-3-319-78361-1
• Lang, S. (2012). Introduction to linear algebra (2nd ed.). Torino, Italia: Boringhieri società per azioni.
• Neri, F. (2016). Linear algebra for computational sciences and engineering. Cham: Springer. doi: 10.1007/978-3-319-40341-0
• Penney, R. C. (2008). Linear algebra: ideas and applications. New York, NY: Wiley-Interscience.
• Scovenna, M., Citterio, M. G., & Moretti, A. (2001). Quaderno di approfondimento. Algebra Lineare. CEDAM Scuola
• Ruini-F, B., & Spaggiari, F. (2002). Esercizi di Geometria. Bologna: Pitagora Editrice.
• Sernesi, E. (1989). Geometria I. Torino: Boringhieri.